楕円体・回転楕円体の意味と体積・表面積
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楕円体・回転楕円体の意味と体積・表面積

楕円体・回転楕円体の意味と体積・表面積
  • レベル: ★ 最難関大受験対策
  • 空間図形

更新 2024/06/14

高校数学で習う楕円：x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1a2x2​+b2y2​=1 の三次元バージョンを考えます。

楕円体・回転楕円体

  • x2a2+y2b2+z2c2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1a2x2​+b2y2​+c2z2​=1 で表される曲面を楕円面と言う。

  • 楕円面を表面とする立体 x2a2+y2b2+z2c2≤1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\leq 1a2x2​+b2y2​+c2z2​≤1 を楕円体と言う。

  • 特に，a,b,ca,b,ca,b,c のうち2つ以上が等しい場合，楕円面のことを回転楕円面と言い，楕円体のことを回転楕円体と言う。

  • a=b=ca=b=ca=b=c の場合は球面・球になる。

この記事では a,b,c>0a,b,c>0a,b,c>0 とします。

回転楕円体の特徴

回転楕円体は，その名の通り，楕円を回転させてできる立体です。

定理1

2次元平面上の楕円を，その長軸または短軸に関して回転させてできる立体は回転楕円体。

証明

x2a2+y2b2=1 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 a2x2​+b2y2​=1

を xxx 軸のまわりに回転させた立体 VVV を考える（yyy 軸まわりの回転も同様）。

(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) が VVV に含まれる   ⟺  \iff⟺ (x,0,0)(x,0,0)(x,0,0) と (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) の距離が y0=b1−x2a2y_0=b\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}y0​=b1−a2x2​​ 以下   ⟺  \iff⟺ y2+z2≤b2(1−x2a2)y^2+z^2\leq b^2\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)y2+z2≤b2(1−a2x2​)   ⟺  \iff⟺ x2a2+y2b2+z2b2≤1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{b^2}\leq 1a2x2​+b2y2​+b2z2​≤1

これは，回転楕円体の式。

回転楕円体では「仲間外れの係数の変数が回転軸」になります。例えば，上記の場合，a,b,ba,b,ba,b,b で仲間外れは aaa であり，回転軸は xxx 軸です。

楕円体の体積

次は体積です。体積は簡単です。

定理2

楕円体：x2a2+y2b2+z2c2≤1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\leq 1a2x2​+b2y2​+c2z2​≤1 の体積は，V=43πabcV=\dfrac{4}{3}\pi abcV=34​πabc

  • 回転楕円体の体積も，この定理から計算できます。
  • a=b=ca=b=ca=b=c の場合は，球の体積公式 43πa3\dfrac{4}{3}\pi a^334​πa3 になります。
  • 楕円の面積公式 S=πabS=\pi abS=πab と似ています。

証明は「楕円体を拡大・縮小して球にする」ことで簡単にできます。拡大・縮小については 関数のグラフの拡大・縮小の証明と例 を参照ください。

証明

楕円体 x2a2+y2b2+z2c2≤1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\leq 1a2x2​+b2y2​+c2z2​≤1 を yyy 軸方向に ab\dfrac{a}{b}ba​ 倍に拡大し，zzz 軸方向に ac\dfrac{a}{c}ca​ 倍に拡大すると，

x2a2+y2a2+z2a2≤1 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{a^2}\leq 1 a2x2​+a2y2​+a2z2​≤1

になる。 これは半径 aaa の球であるので，体積は 43πa3\dfrac{4}{3}\pi a^334​πa3

よって，拡大前の楕円体の体積は

43πa3×ba×ca=43πabc \dfrac{4}{3}\pi a^3\times\dfrac{b}{a}\times\dfrac{c}{a}=\dfrac{4}{3}\pi abc 34​πa3×ab​×ac​=34​πabc

長楕円体と扁平楕円体

回転楕円体には2種類あります。

  • 長楕円体（長球）：回転軸が別の軸よりも長い。つまり，回転楕円体の式 x2a2+y2b2+z2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{b^2}=1a2x2​+b2y2​+b2z2​=1 において，a>ba>ba>b の場合。ボールの北極と南極をつかんで引き伸ばすイメージ。ラグビーボール。

  • 扁平楕円体（扁球）：回転軸が別の軸よりも短い。つまり，回転楕円体の式 x2a2+y2b2+z2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{b^2}=1a2x2​+b2y2​+b2z2​=1 において，b>ab>ab>a の場合。ボールの北極と南極から押しつぶすイメージ。地球は球に近い扁平楕円体とみなすことが多い。1−ab1-\dfrac{a}{b}1−ba​ のことを扁平率と呼ぶことがある。

回転楕円体の表面積

表面積の公式は，長球と扁球で異なります！

定理3

回転楕円体： x2a2+y2b2+z2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{b^2}=1a2x2​+b2y2​+b2z2​=1

の表面積 SSS は，

  • a>ba > ba>b のとき S=2π(b2+abArcsin(ε1)ε1)S=2\pi\left(b^2+\dfrac{ab\mathrm{Arcsin}(\varepsilon_1)}{\varepsilon_1}\right)S=2π(b2+ε1​abArcsin(ε1​)​)
  • a<ba < ba<b のとき S=2π(b2+a2tanh⁡−1(ε2)ε2)S=2\pi\left(b^2+\dfrac{a^2\tanh^{-1}(\varepsilon_2)}{\varepsilon_2}\right)S=2π(b2+ε2​a2tanh−1(ε2​)​)

ただし，ε1=a2−b2a2\varepsilon_1=\sqrt{\dfrac{a^2-b^2}{a^2}}ε1​=a2a2−b2​​，ε2=b2−a2b2\varepsilon_2=\sqrt{\dfrac{b^2-a^2}{b^2}}ε2​=b2b2−a2​​は離心率です。→離心率の意味と関連する計算

長球のときはサインの逆関数，扁球のときは tanh⁡\tanhtanh の逆関数が出てくるのがおもしろいです！→ 双曲線関数(sinhx, coshx, tanhx)の逆関数

証明

x=x0x=x_0x=x0​ から x0+Δxx_0+\Delta xx0​+Δx の間にある部分の表面積を考える。この部分は Δx\Delta xΔx が十分小さいとき「長さが 2πy02\pi y_02πy0​ で太さが (Δx)2+(Δy)2\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}(Δx)2+(Δy)2​ の帯」とみなせるので，表面積は

2πy01+(ΔyΔx)2Δx 2\pi y_0\sqrt{1+\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}\Delta x 2πy0​1+(ΔxΔy​)2​Δx

よって，積分すると

S=∫−aa2πy1+y′2dx S=\int_{-a}^a 2\pi y\sqrt{1+y'^2}dx S=∫−aa​2πy1+y′2​dx

まず，被積分関数を xxx で表す。

  • x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1a2x2​+b2y2​=1 より y2=b2(1−x2a2)y^2=b^2\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)y2=b2(1−a2x2​)
  • また，これを xxx で微分すると 2yy′=−2b2xa22yy'=\dfrac{-2b^2x}{a^2}2yy′=a2−2b2x​

以上より，

S=4π∫0ab2−b2x2a2+b4a4x2dx S = 4\pi \int_0^a \sqrt{b^2-\dfrac{b^2x^2}{a^2}+\dfrac{b^4}{a^4}x^2}dx S=4π∫0a​b2−a2b2x2​+a4b4​x2​dx

ここで，a>ba> ba>b の場合，上式は

4πb∫0a1−ε12a2x2dx 4\pi b \int_0^a\sqrt{1-\dfrac{\varepsilon_1^2}{a^2}x^2}dx 4πb∫0a​1−a2ε12​​x2​dx

x=asin⁡θε1x=\dfrac{a\sin\theta}{\varepsilon_1}x=ε1​asinθ​ と置換すると，

S=4πabε1∫0θ0cos⁡2θdθ=2πabε1(θ0+sin⁡2θ02)=2πabε1(θ0+sin⁡θ0cos⁡θ0)\begin{aligned} S &= \dfrac{4\pi ab}{\varepsilon_1}\displaystyle\int_0^{\theta_0}\cos^2\theta d\theta\\ &= \dfrac{2\pi ab}{\varepsilon_1}\left(\theta_0+\dfrac{\sin 2\theta_0}{2}\right)\\ &= \dfrac{2\pi ab}{\varepsilon_1}\left(\theta_0+\sin\theta_0\cos\theta_0\right) \end{aligned}S​=ε1​4πab​∫0θ0​​cos2θdθ=ε1​2πab​(θ0​+2sin2θ0​​)=ε1​2πab​(θ0​+sinθ0​cosθ0​)​

ただし，ε1=sin⁡θ0\varepsilon_1=\sin\theta_0ε1​=sinθ0​ と， cos⁡θ0=1−sin⁡2θ0=1−ε12=b2a2\begin{aligned} \cos\theta_0 &= \sqrt{1-\sin^2\theta_0}\\ &= \sqrt{1-\varepsilon_1^2}\\ &= \sqrt{\dfrac{b^2}{a^2}} \end{aligned}cosθ0​​=1−sin2θ0​​=1−ε12​​=a2b2​​​

より

S=2πabε1(θ0+ε1⋅ba)=2π(b2+abArcsin(ε1)ε1)\begin{aligned} S&=\dfrac{2\pi ab}{\varepsilon_1} \left( \theta_0+\varepsilon_1\cdot\dfrac{b}{a} \right)\\ &= 2\pi\left(b^2+\dfrac{ab\mathrm{Arcsin} (\varepsilon_1)}{\varepsilon_1}\right) \end{aligned}S​=ε1​2πab​(θ0​+ε1​⋅ab​)=2π(b2+ε1​abArcsin(ε1​)​)​

a<ba<ba<b の場合も同様に計算できる。

楕円面の媒介変数表示

楕円面 x2a2+y2b2+z2c2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1a2x2​+b2y2​+c2z2​=1 は，媒介変数 θ,ϕ\theta,\phiθ,ϕ （ただし，0≤θ≤π, 0≤ϕ<2π0\leq \theta \leq \pi,\:0\leq\phi <2\pi0≤θ≤π,0≤ϕ<2π）を用いて以下のように表せます： {x=acos⁡θcos⁡ϕy=bcos⁡θsin⁡ϕz=csin⁡θ\begin{cases} x=a\cos\theta\cos\phi\\ y=b\cos\theta\sin\phi\\ z=c\sin\theta \end{cases}⎩⎨⎧​x=acosθcosϕy=bcosθsinϕz=csinθ​ これは，球面の媒介変数表示(→ここの公式5)を知っていればすぐに導出できます。

一般の楕円体の表面積は計算が大変です。楕円積分が登場します。

この記事の監修者

マスオ

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る

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