「おうぎ形の面積は " １／２×弧の長さ×半径 ”」になる説明

《中学生数学》公式の解説

2024年6月24日

ここではなぜ、おうぎ形の面積は「１／２×弧の長さ×半径」で求めることができるのか？を考えていきたいと思います。

この公式のポイント

・おうぎ形の面積は「１／２×弧の長さ×半径」で求めることができます。

・おうぎ形の半径をｒ、弧の長さをＬとしたとき、面積Ｓは下の公式で書くことができます。

$$\Large{S}=\frac{1}{2}{l}{r}$$

ぴよ校長おうぎ形は、半径と弧の長さが分かれば、面積を出すことが出来るよ！

中学生では、円すいの表面積を求めるときに、この公式を使って解く問題が出てきます。円すいの側面は、広げるとおうぎ形の形をしています。

おうぎ形の面積を求める公式を忘れてしまったときに、ぜひ参考にしてみて下さい。

メモ

ぴよ校長ちなみに、おうぎ形の面積を求める公式は、これとは別にもう一つあるよ

おうぎ形の面積は、半径と中心角の大きさを使っても求めることが出来ます。※孤の長さを使わないで面積を求める公式です。もう一つの公式については、こちらの記事に解説を書いているので、参考にしてみて下さい。

「おうぎ形の面積は " π×半径×半径×中心角／３６０ ”」になる説明

ここではなぜ、おうぎ形の面積は「π×半径×半径×中心角／３６０」で求めることがで ...

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ぴよ校長それでは、さっそく確認していこう！

「おうぎ形の面積は、１／２×弧の長さ×半径」になる説明

まずはじめに、半径ｒの円の「面積」と「円周」の式を確認しておきます。

円の面積の式

$$\Large{π}r^2$$

円の円周の式

$$\Large{2}{π}{r}$$

次に下の図のように、この円を一部を切っておうぎ形を作ったとき、おうぎ形の面積は、円の全体の面積の割合になっているでしょうか？

ここで、おうぎ形が元の円の何割か？を出すために、弧の長さを使います。円全体の円周に対する、おうぎ形の弧の長さの割合は、おうぎ形の弧の長さを、円周で割って下の式になります。

$$\Large\frac{l}{2πr}$$

円に対するおうぎ形の割合が上の式になるので、これに円の面積に掛けると、おうぎ形の面積を求めることができます。

$$\Large{π}r^2×\frac{l}{2πr}$$

$$\Large＝\frac{1}{2}{l}{r}$$

ぴよ校長これで、おうぎ形の面積の公式を出すことができたね！

まとめ

・おうぎ形の面積は、おうぎ形をつくる元の円の面積の何割になるかを考えます。

・上の割合を出すためには、おうぎ形の弧の長さを、円の円周で割れば割合を出すことができます。

・円の面積に、おうぎ形の面積の割合を掛けると、おうぎ形の面積を求めることができます。

ぴよ校長ぜひ、おうぎ形の面積の公式を覚えるときの参考にしてみて下さいね！

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