ベータ関数とは～定義と性質8つとその証明～
ベータ関数とは， B(x,y) =\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\, dt と定義される特殊関数です。これについて，その定義と性質とその証明を行いましょう。
目次- ベータ関数の定義
- ベータ関数の性質8つ
- 1. B(x,y) = B(y,x)
- 2. xB(x,y+1) = yB(x+1,y)
- 3. B(x,y) = B(x+1,y) + B(x,y+1)
- 4. (x+y)B(x+1,y) = xB(x,y)
- 5. (x+y)B(x,y+1) = yB(x,y)
- 6. B(x,y) = 2∫_0^{π/2} sin^{2x-1} Θ cos^{2y-1}Θ dΘ
- 7. B(x,y) = 1/2^{x+y-1}∫_{-1}^1 (1+t)^{x-1}(1-t)^{y-1} dt
- 8. B(1,x) = B(x,1) = 1/x
- ベータ関数とガンマ関数の関係
- 関連する記事
ベータ関数の定義
\operatorname{Re} x, \,\operatorname{Re} y > 0 の複素数の範囲で定義しますが，複素関数が分からない場合は，単に x,y>0 と思って全く差し支えありません。
定義（ベータ関数）
\operatorname{Re} x, \,\operatorname{Re} y > 0 とする。
\color{red} B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\, dtをベータ関数 (beta function) という。
ベータ関数の積分が収束することは， |t^z|= |e^{z\log t}| = e^{\operatorname{Re} (z)\log t} = t^{\operatorname{Re} z} に注意すると， \operatorname{Re} x - 1 >-1 ,\; \operatorname{Re} y-1>-1 であるから，
\small\begin{aligned}&\left|\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\, dt\right| \\ &\le \int_0^1 |t^{x-1} (1-t)^{y-1}|\, dt \\ &\le \int_0^{1/2} \frac{1}{2^{\operatorname{Re}y-1}} t^{\operatorname{Re}x-1}\, dt + \int_{1/2}^1 \frac{1}{2^{\operatorname{Re}x-1}} (1-t)^{\operatorname{Re}y-1}\, dt \\ &\le \frac{1}{2^{\operatorname{Re}y-1}} \int_0^1 t^{\operatorname{Re}x-1}\, dt + \frac{1}{2^{\operatorname{Re}x-1}} \int_0^1 t^{\operatorname{Re}y-1}\, dt \\ &\le \frac{1}{2^{\operatorname{Re}y-1}\operatorname{Re}x} + \frac{1}{2^{\operatorname{Re}x-1}\operatorname{Re}y} <\infty \end{aligned}となるため，分かりますね。
ベータ関数の性質8つ
定理（ベータ関数の性質）
\operatorname{Re} x, \,\operatorname{Re} y > 0 とする。このとき，
- B(x,y) = B(y,x).
- xB(x,y+1) = yB(x+1,y).
- B(x,y) = B(x+1,y) + B(x,y+1) .
- (x+y)B(x+1,y) = xB(x,y).
- (x+y)B(x,y+1) = yB(x,y).
- B(x,y) =\displaystyle 2\int_0^{\pi/2} \sin^{2x-1} \theta \cos^{2y-1}\theta\, d\theta.
- B(x,y) =\displaystyle \dfrac{1}{2^{x+y-1}}\int_{-1}^1 (1+t)^{x-1}(1-t)^{y-1}\, dt.
- B(1,x) = B(x,1) = \dfrac{1}{x}.
それぞれ証明していきましょう。
1. B(x,y) = B(y,x)証明
u=1-t と置換積分すると，
\begin{aligned} B(x,y)&=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\, dt \\ &= \int_0^1 (1-u)^{x-1}u^{y-1}\, du \\ &= B(y,x). \end{aligned}証明終
2. xB(x,y+1) = yB(x+1,y)証明
部分積分公式より，
\begin{aligned} &xB(x, y+1) \\ &= x\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y}\, dt \\ &= \left[ t^x (1-t)^y \right]_0^1 + y \int_0^1 t^{x} (1-t)^{y-1}\, dt \\ &= y B(x+1,y). \end{aligned}証明終
3. B(x,y) = B(x+1,y) + B(x,y+1)証明
ベータ関数の定義式より，
\begin{aligned}&B(x,y+1)\\ &= \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^y \,dt \\ &= \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}(1-t) \,dt \\ &= \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} \,dt - \int_0^1 t^{x}(1-t)^{y-1}\,dt \\ &= B(x,y)-B(x+1,y) \end{aligned}であるから，移項して B(x,y) = B(x,y+1)+B(x+1,y) .
証明終
4. (x+y)B(x+1,y) = xB(x,y)証明
3.を適用してから2.を使うことで，
\begin{aligned} B(x,y) &= B(x,y+1)+B(x+1,y) \\ &= \frac{y}{x}B(x+1,y) + B(x+1,y) \\ &= \frac{x+y}{x} B(x+1,y). \end{aligned}よって， (x+y)B(x+1,y) = xB(x,y) .
証明終
5. (x+y)B(x,y+1) = yB(x,y)証明
3.を適用してから2.を使うことで，
\begin{aligned} B(x,y) &= B(x,y+1)+B(x+1,y) \\ &= B(x,y+1) +\frac{x}{y} B(x,y+1) \\ &= \frac{x+y}{y} B(x+1,y). \end{aligned}よって， (x+y)B(x,y+1) = yB(x,y) .
証明終
6. B(x,y) = 2∫_0^{π/2} sin^{2x-1} Θ cos^{2y-1}Θ dΘ証明
t=\sin^2 \theta とおくと， 1-t = \cos^2 \theta であり，
\begin{aligned} &B(x,y) \\ &= \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\, dt \\ &= \int_0^{\pi/2} \sin^{2x-2}\theta \cos^{2y-2}\theta \,\, 2\sin\theta\cos\theta d\theta \\ &= 2\int_0^{\pi/2} \sin^{2x-1} \theta \cos^{2y-1}\theta\, d\theta. \end{aligned}証明終
7. B(x,y) = 1/2^{x+y-1}∫_{-1}^1 (1+t)^{x-1}(1-t)^{y-1} dt証明
ベータ関数の定義式より，
B(x,y) = \int_0^1u^{x-1}(1-u)^{y-1}\, du.t=2u-1 と置換積分すると，
\begin{aligned}&\int_0^1u^{x-1}(1-u)^{y-1}\, du \\ &= \int_{-1}^1 \left(\frac{1+t}{2}\right)^{x-1} \left(\frac{1-t}{2}\right)^{y-1}\, \frac{dt}{2} \\ &= \dfrac{1}{2^{x+y-1}}\int_{-1}^1 (1+t)^{x-1}(1-t)^{y-1}\, dt.\end{aligned}証明終
8. B(1,x) = B(x,1) = 1/x証明
前半の等式は1.からわかる。後半の等式については，ベータ関数の定義より，
\begin{aligned} B(x,1) &= \int_0^1 t^{x-1}\, dt = \left[\frac{t^x}{x}\right]_0^1 = \frac{1}{x}\end{aligned}よりわかる。
証明終
ベータ関数とガンマ関数の関係
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\, dt \quad (\operatorname{Re}z>0)をガンマ関数としましょう(→ ガンマ関数とは～定義と性質をわかりやすく～)。このとき，ベータ関数とガンマ関数の間には，以下の関係があります。
\color{red} B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.これは，以下で解説しています。
ガンマ関数とベータ関数の関係式とその証明ガンマ関数とベータ関数の間には，B(x,y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y) という関係式があります。この関係式について，その導出の証明を行いましょう。mathlandscape.comこれを踏まえると，ガンマ関数の値を用いることで，
\begin{aligned} &B(m,n ) = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!} ,\quad m,n \in\mathbb{Z}_{\ge 1},\\ &B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = \pi, \\ &B(x, 1-x) = \frac{\pi}{\sin\pi x}, \quad x\notin\mathbb{Z}. \end{aligned}等も分かります。