双曲線関数(sinh,cosh,tanh)の定義と性質22個まとめ

双曲線関数 \sinh, \cosh, \tanh の定義とグラフについて解説し，さらにその性質を三角関数 \sin, \cos, \tan と比較しながらまとめます。

1. 双曲線関数(sinh,cosh,tanh)の定義とグラフ
   1. 双曲線関数の定義
   2. 双曲線関数のグラフ
      1. sinh のグラフ
      2. cosh のグラフ
      3. tanh のグラフ
      4. sinh, cosh, tanh のグラフをまとめて
2. 双曲線関数の性質
   1. 基本的な性質
   2. 双曲線関数の微分
   3. 双曲線関数の積分
   4. sinh, cosh のテイラー展開(マクローリン展開)
3. 双曲線関数の逆関数
4. 類似の関数
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双曲線関数(sinh,cosh,tanh)の定義とグラフ

まずは sinh, cosh, tanh の定義を確認し，グラフを描きましょう。

定義（双曲線関数）

x\in \mathbb{R} に対し，

を双曲線関数 (hyperbolic function) という。

\sinh, \cosh, \tanh はそれぞれハイパボリックサイン，ハイパボリックコサイン，ハイパボリックタンジェントと読みます。

それぞれのグラフを確認していきましょう。

双曲線関数の性質

双曲線関数は三角関数と似たような性質がたくさんあります。これについて，「基本的な性質」「微分」「積分」「テイラー展開」にわけて確認していきましょう。

まずは基本的な性質を確認しましょう。

定理（双曲線関数の基本的な性質）

1. \sinh (-x) = - \sinh x. (奇関数)
2. \cosh (-x) = \cosh x. (偶関数)
3. \tanh (-x) = -\tanh x . (奇関数)
4. \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1.
5. \displaystyle 1 - \tanh^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}.
6. e^x = \cosh x + \sinh x.
7. \sinh(\alpha \pm \beta) = \sinh \alpha \cosh \beta \pm \cosh\alpha \sinh \beta . ( \sinh の加法定理)
8. \cosh(\alpha\pm \beta) = \cosh\alpha\cosh\beta \pm \sinh\alpha \sinh\beta. ( \cosh の加法定理)
9. \displaystyle \tanh(\alpha\pm\beta) = \frac{\tanh\alpha \pm \tanh\beta}{1\pm \tanh \alpha \tanh \beta}. ( \tanh の加法定理)
10. \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1. (極限)

4.の性質から，特に (\cosh x, \sinh x) の軌跡は双曲線の片側になります。これが，双曲線関数といわれる所以ですね。なお，三角関数は別名「円関数」と呼ばれます。

三角関数と比較してみましょう。

符号の違いはあれど，かなり性質は似ていますね。

双曲線関数の微分の性質も，かなり三角関数と似ています。

定理（双曲線関数の微分）

1. \displaystyle (\sinh x)' = \cosh x.
2. \displaystyle (\cosh x)' = \sinh x.
3. \displaystyle (\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x .

再び三角関数と比較してみましょう。

これも符号は違えど，性質は似ていますね。

微分の公式を逆に用いると，積分の公式が作れます。

定理（双曲線関数の積分）

1. \int \sinh x \, dx = \cosh x + C.
2. \int \cosh x \, dx = \sinh x + C.
3. \int \tanh x \, dx = \log( \cosh x) + C = \log(e^x + e^{-x} ) + C'.
4. \displaystyle \int \frac{1}{\cosh^2 x} \, dx = \tanh x + C.

ただし， C, C' は積分定数。

3.のみは微分の逆とは言えませんね。これは \displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \log |f(x)| + C を使えば導出できます。

これも三角関数と比較しましょう。

双曲線関数，特に \sinh, \cosh の0でのテイラー展開（マクローリン展開）を述べておきましょう。すべて x \in \mathbb{R} で成立します。

定理（sinh, cosh のテイラー展開）

1. \displaystyle \sinh x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} +\frac{x^7}{7!}+ \cdots
2. \displaystyle \cosh x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1+ \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots

双曲線関数の逆関数

グラフを見るとわかるように， \sinh, \tanh はそれぞれ終域を \mathbb{R}, (-1,1) とすることで全単射になります。また \cosh は定義域を x \ge 0 に制限し，終域を y\ge 1 とすることで，全単射になります。これにより，逆関数を考えることができます。

双曲線関数の逆関数は，既存の関数を用いて表すことができます。

定理（双曲線関数の逆関数；逆双曲線関数）

1. \sinh^{-1} x = \log(x+\sqrt{x^2+1}), \quad x \in \mathbb{R}.
2. \cosh^{-1} x = \log(x+\sqrt{x^2-1}), \quad x\ge 1 .
3. \displaystyle \tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x}, \quad -1<x<1.

逆双曲線関数を用いると，有名な積分の公式を得ることができます。

a> 0 とする。

• \color{red} \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2} } = \sinh^{-1} \frac{x}{a} + C= \log(x+\sqrt{x^2+a^2}) + C'.
• \color{red} \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \cosh^{-1} \frac{x}{a} + C = \log(x+\sqrt{x^2-a^2}) + C', \,\, x \ge a.

ただし， C, C' は積分定数。

詳しくは以下の記事で解説しています。

類似の関数

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