サイクロイドについて覚えておくべきこと

• レベル: ★ 入試対策
• 微分

更新 2022/02/13

媒介変数 θ\thetaθ を用いて

x(θ)=a(θ−sin⁡θ)x(\theta)=a(\theta-\sin\theta)x(θ)=a(θ−sinθ) y(θ)=a(1−cos⁡θ)y(\theta)=a(1-\cos\theta)y(θ)=a(1−cosθ)

と表される曲線をサイクロイド（Cycloid）と呼ぶ。

サイクロイドは媒介変数表示される曲線の中で有名なものの1つです。以下，a>0a> 0a>0 とします。

サイクロイド曲線のグラフ

サイクロイド曲線

x(θ)=a(θ−sin⁡θ)x(\theta)=a(\theta-\sin\theta)x(θ)=a(θ−sinθ) y(θ)=a(1−cos⁡θ)y(\theta)=a(1-\cos\theta)y(θ)=a(1−cosθ)

のグラフを 0≤θ≤2π0\leq\theta\leq 2\pi0≤θ≤2π の範囲で描け。

媒介変数表示された曲線のグラフを描くよい練習問題です。サイクロイドのグラフはすぐに描けるようにしておきましょう。

• dx(θ)dθ=a(1−cos⁡θ)≥0\dfrac{dx(\theta)}{d\theta}=a(1-\cos\theta)\geq 0dθdx(θ)​=a(1−cosθ)≥0

• dy(θ)dθ=asin⁡θ\dfrac{dy(\theta)}{d\theta}=a\sin\thetadθdy(θ)​=asinθ よって，dy(θ)dθ\dfrac{dy(\theta)}{d\theta}dθdy(θ)​ は 0<θ<π0 <\theta <\pi0<θ<π では正，π<θ<2π\pi < \theta <2\piπ<θ<2π では負。

つまり，原点からスタートして右上に移動し，(πa,2a)(\pi a,2a)(πa,2a) を通り右下に移動する。これを滑らかな曲線で描くと図のようになる。

円を転がしたときの軌跡

サイクロイドは，円が直線上を転がるときに円周上の1点が動く軌跡です。これは事実として覚えておくとともに，すぐに導けるようになっておきましょう。

円が θ\thetaθ だけ転がった時の円周上の点 XXX の座標を θ\thetaθ で表せばよいです。このような問題では座標を表す際に円の中心 BBB を経由するとよいです。

(0,a)(0,a)(0,a) を中心とする半径 aaa の円周上の点 OOO が動く軌跡を考える。

θ\thetaθ 回転したあと円の中心 BBB は (aθ,a)(a\theta, a)(aθ,a) となる。

また，BXBXBX と xxx 軸の正の向きがなす角は (32π−θ)(\dfrac{3}{2}\pi-\theta)(23​π−θ) なので，

BXundefined=(acos⁡(32π−θ),asin⁡(32π−θ))\overrightarrow{BX}=(a\cos(\dfrac{3}{2}\pi-\theta), a\sin(\dfrac{3}{2}\pi-\theta))BX=(acos(23​π−θ),asin(23​π−θ))

よって，XXX の座標は，

OBundefined+BXundefined=(aθ+acos⁡(32π−θ),a+asin⁡(32π−θ))\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BX}=(a\theta+a\cos(\dfrac{3}{2}\pi-\theta), a+ a\sin(\dfrac{3}{2}\pi-\theta))OB+BX=(aθ+acos(23​π−θ),a+asin(23​π−θ))

加法定理を用いて変形すると，

• xxx 座標は aθ−asin⁡θa\theta-a\sin\thetaaθ−asinθ
• yyy 座標は a−acos⁡θa-a\cos\thetaa−acosθ

となりサイクロイドの式を得る。

なお，今回は円が直線の上を転がりましたが，円が円の内側を転がる場合はハイポサイクロイドになります。似たような考え方で軌跡を導出できます。→ハイポサイクロイド（特にデルトイド）の式と面積

最速降下曲線（物理的な意味）

サイクロイドは「最速降下曲線」という物理的な意味も持ちます。入試で役に立つ可能性は低いですが，雑学として知っておくとよいでしょう。

つまり，サイクロイドは高さの違う2点 A,BA,BA,B が与えられたときに，「高い方の点 AAA に物体を置き転がしたときに点 BBB にたどりつくまでにかかる時間が最小となる」ような曲線です。

（上記で紹介したサイクロイドの式を xxx 軸に関して折り返したもので，原点が点 AAA に対応しています。）

これは変分法と呼ばれる手法で導出できます。

練習問題

サイクロイド曲線 CCC: x(θ)=a(θ−sin⁡θ)x(\theta)=a(\theta-\sin\theta)x(θ)=a(θ−sinθ) y(θ)=a(1−cos⁡θ)y(\theta)=a(1-\cos\theta)y(θ)=a(1−cosθ)

(0≤θ≤2π)(0\leq\theta\leq 2\pi)(0≤θ≤2π) について，

(1) CCC と xxx 軸で囲まれた部分 DDD の面積を求めよ。 (2) DDD を xxx 軸まわりに回転させてできる立体の体積を求めよ。 (3) CCC の長さを求めよ。

(1) 3πa23\pi a^23πa2 (2) 5π2a35\pi^2a^35π2a3 (3) 8a8a8a

計算の詳細はサイクロイド曲線のグラフと面積・体積・長さを参照してください。

変分法は大学に入ってからのお楽しみです。

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マスオ

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る

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