ビュフォンの針の問題と確率の導出
ビュフォンの針の問題と確率の導出

ビュフォンの針の問題と確率の導出

ビュフォンの針の問題と確率の導出
  • レベル: ◎ 大学数学その2
  • 積分

更新 2025/10/12

ビュフォンの針

平面上に間隔 ddd で平行線を引く。長さ l (≦d)l\:(\leqq d)l(≦d) の針を適当に投げたとき，針が線と交わる確率は 2lπd\dfrac{2l}{\pi d}πd2l​

ビュフォンの針（Buffon’s needle problem）と呼ばれる有名な確率の問題を紹介します。円周率が登場するのが面白いです。

ビュフォンの針を使って円周率を求める

針が線と交わる確率は 2lπd\dfrac{2l}{\pi d}πd2l​ です（この式は後ほど証明します）。

確率に円周率が登場します。よって，実際に以下の例のようなビュフォンの針の実験をすることで，円周率の近似値を求めることができます。

実験の例

係数を綺麗にするために d=2ld=2ld=2l として実験する。このとき針が線と交わる確率は 1π\dfrac{1}{\pi}π1​ となる。例えば 100010001000 回針を投げてそのうち NNN 回が直線と交わった場合，

N1000≒1π\dfrac{N}{1000}\fallingdotseq \dfrac{1}{\pi}1000N​≒π1​ となるはず。

よって，1000N\dfrac{1000}{N}N1000​ を円周率の値 π\piπ の近似値とみなせる。

確率の導出

それでは，針が線と交わる確率が 2lπd\dfrac{2l}{\pi d}πd2l​ であることを証明します。

証明を厳密に理解するためには大学の確率論が必要ですが，雰囲気は高校数学でも十分理解できます。

まずは証明に向けて，ランダムに投げた針の状態がどのようになるのか，確率の言葉を使ってきちんと解釈します。

投げた針の中心 AAA から最も近い線までの距離を yyy とします。

0≦y≦d20\leqq y\leqq \dfrac{d}{2}0≦y≦2d​ です。

また，針と直線のなす角を θ\thetaθ とします。

0≦θ≦π20\leqq \theta\leqq\dfrac{\pi}{2}0≦θ≦2π​ です。

yyy と θ\thetaθ は（連続型の）確率変数です。「ランダムに針を投げた」という言葉は以下のように解釈できます。

  • 針の中心 AAA の座標はランダム （yyy は区間 [0,d2][0,\frac{d}{2}][0,2d​] 上の一様分布に従う）

  • 針がどの方向を向くかはランダム （θ\thetaθ は区間 [0,π2][0,\frac{\pi}{2}][0,2π​] 上の一様分布に従う）

このような解釈のもと，針が線と交わる確率を求めてみます。

ビュフォンの針の確率の導出

さきほどの図より， 針が線と交わる（共有点を持つ）  ⟺  y≦l2sin⁡θ\iff y \leqq \dfrac{l}{2}\sin\theta⟺y≦2l​sinθ

よって，yyy と θ\thetaθ をランダムに決めたときに y≦l2sin⁡θy\leqq \dfrac{l}{2}\sin\thetay≦2l​sinθ となる確率を求めればよい。

「ランダムに yyy と θ\thetaθ を選ぶ」ことは「図の長方形内にランダムに一つ点を取る」ことに対応する。よって，求める確率は図において （青い部分の面積）÷（長方形の面積）である。

長方形の面積は πd4\dfrac{\pi d}{4}4πd​ であり，青い部分の面積は ∫0π2l2sin⁡θdθ=l2\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{l}{2}\sin\theta d\theta=\dfrac{l}{2}∫02π​​2l​sinθdθ=2l​ であるので，求める確率は 2lπd\dfrac{2l}{\pi d}πd2l​ となる。

針が長い場合の確率

ここまでは l≦dl\leqq dl≦d の場合を考えましたが，l>dl>dl>d の場合も考えてみましょう。

ビュフォンの針（針が長い場合）の確率

ビュフォンの針において l>dl>dl>d の場合，針が線と交わる確率は

2lπd(1−1−d2l2)+1−2πArcsin(dl)\dfrac{2l}{\pi d}\left(1-\sqrt{1-\dfrac{d^2}{l^2}}\right)+1-\dfrac{2}{\pi}\mathrm{Arcsin}\left(\dfrac{d}{l}\right)πd2l​(1−1−l2d2​​)+1−π2​Arcsin(ld​)

ただし，Arcsin\mathrm{Arcsin}Arcsin は sin⁡\sinsin の逆関数です。→逆三角関数(Arcsin,Arccos,Arctan)の意味と性質

証明

l≦dl\leqq dl≦d の場合と考え方は同じ。求める確率は図において （青い部分の面積）÷（長方形の面積）である。

ただし，θ0\theta_0θ0​ は l2sin⁡θ0=d2\dfrac{l}{2}\sin\theta_0=\dfrac{d}{2}2l​sinθ0​=2d​ を満たす。

長方形の面積は πd4\dfrac{\pi d}{4}4πd​ であり，青い部分の面積は ∫0θ0l2sin⁡θdθ+(π2−θ0)⋅d2=l2(−cos⁡θ0+1)+πd4−dθ02\begin{aligned}&\displaystyle\int_0^{\theta_0}\dfrac{l}{2}\sin\theta d\theta+(\dfrac{\pi}{2}-\theta_0)\cdot\dfrac{d}{2}\\ &=\dfrac{l}{2}(-\cos\theta_0+1)+\dfrac{\pi d}{4}-\dfrac{d\theta_0}{2}\end{aligned}​∫0θ0​​2l​sinθdθ+(2π​−θ0​)⋅2d​=2l​(−cosθ0​+1)+4πd​−2dθ0​​​ つまり，求める確率は 2lπd(1−cos⁡θ0)+1−2θ0π=2lπd−2lπd1−sin⁡2θ0+1−2θ0π=2lπd(1−1−d2l2)+1−2πArcsin(dl)\begin{aligned}&\dfrac{2l}{\pi d}(1-\cos\theta_0)+1-\dfrac{2\theta_0}{\pi}\\ &=\dfrac{2l}{\pi d}-\dfrac{2l}{\pi d}\sqrt{1-\sin^2\theta_0}+1-\dfrac{2\theta_0}{\pi}\\ &=\dfrac{2l}{\pi d}\left(1-\sqrt{1-\dfrac{d^2}{l^2}}\right)+1-\dfrac{2}{\pi}\mathrm{Arcsin}\left(\dfrac{d}{l}\right)\end{aligned}​πd2l​(1−cosθ0​)+1−π2θ0​​=πd2l​−πd2l​1−sin2θ0​​+1−π2θ0​​=πd2l​(1−1−l2d2​​)+1−π2​Arcsin(ld​)​

非常に面白い方法ですが，円周率の近似の精度は悪いです（誤差を 110\dfrac{1}{10}101​ くらいにするには投げる本数を 100100100 倍くらいにする必要がある）。

Tag:難しめの数学雑学・ネタまとめ

この記事の監修者

マスオ

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る

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