おりびのブログ

この記事では、

◆材料力学が苦手。

◆モールの応力円の解き方が分からない。

というあなた向けの内容です。

ぜひ今日でモールの応力円の解き方をマスターしましょう！

YouTubeでも解説動画ありますのでぜひ。 youtu.be

• モールの応力円の例題を解いてみよう
• モールの応力円を描く前に知っておきたいこと
• モールの応力円の例題を解く
  • モールの応力円を描く3つの手順
  • モールの応力円を描こう①
  • モールの応力円を描こう②
  • モールの応力円を描こう③
  • (1) 最大せん断応力の値を求めよう
  • (2)垂直応力がゼロになる面の方向とせん断応力の値を求めよう
• モールの応力円の例題まとめ

習うより慣れよということで、早速モールの応力円の例題を解説します。

円を描くのに最初は戸惑いますが、慣れれば中学・高校数学の知識だけで解けるので案外簡単です。

では早速解説する問題がこちら⇩

主応力が200MPa、MPaであるとき、次の問いに答えよ。 ①最大せん断応力の値を求めよ。 ②垂直応力がゼロになる面の方向とその面でのせん断応力の値を求めよ。

今回は↑の問題を解いていきますが、その前にモールの応力円の例題を解くにあたって最低限必要な知識をまとめておきます。

次の項目をしっかりと理解してください。

実際に例題を解く前にモールの応力円について最低限知っといてほしい知識や注意事項をまとめます。

◆横軸は(右向きを正)、縦軸は(下向きを正)

◆角度は軸を°として反時計回りに回転する

◆主応力はせん断応力がゼロのため軸上の位置する

とりあえずは↑の3つの注意事項を頭に入れておきましょう。

まずは横軸と縦軸が何を表しているか分からないとだめです。

横軸はで引張り・圧縮応力を、縦軸はでせん断応力をそれぞれ表しています。

また、回転角度ですが、ではなくであることに気を付けましょう。

そして、主応力という言葉もよく出てきます。主応力＝せん断応力がかからず引張り・圧縮だけの応力と覚えましょう。

それではモールの応力円の例題を実際に解いていきます。

まずはモールの応力円を描く手順を3ステップを紹介します。

モールの応力円を描く手順は以下の3ステップです。

①横軸に(右向きを正)、縦軸に(下向きを正)をとる。

②問題文で与えられた２点A(,)とB(,)をとる。

③直線ABが軸と交わる点を中心とし、ABを直径とする円を描く。

それではこの3つの手順に従って応力円を描いていきましょう。

縦軸のがなぜ下向き正にすることが多いかというと、重力の向きとそろえたかったからというのを聞いたことがあります。

まずは横軸と縦軸を描いていきます。

↓の図のようになりますね。ステップ①は簡単だと思います。

続いてステップ②では、問題文で与えられた応力値を↑のグラフにプロットしていきます。

「主応力が200MPa」と書かれているので、軸上に点A(+200,0)をプロットしましょう。↓の図のようになります。

次に「MPa」と書かれているので、軸上に点B(-100,0)をプロットしましょう。↓の図のようになります。

続いて、点Aと点Bが直径となるように円を描きます。

中心の座標はいくらになるでしょうか？

ですので、中心の座標を直線AB上にプロットします。

点A,Bを直径とした円を描きましょう。こんな感じの円が描けます↓

簡単ですね。高校数学の知識で円を描くことができました。

続いて問(1)を解いていきましょう。

縦軸はせん断応力を表しており、縦軸の値に着目すると、２ヵ所最大せん断応力が存在します。

円の半径が150であることに注意すると、答えは

最大せん断応力はMPaです。

続いて問(2)を解きましょう。

続いて問(2)を解いていきましょう。

垂直応力がゼロとなるのはモールの応力円上ではどの位置なのかを考えましょう。

垂直応力とは横軸のを表しているので、軸がゼロとなるところを探せばOKです。

つまり、軸上で円と重なる点を求めましょう。

↓の図で言うと点Cと点Dです。

では実際に、点Cと点Dの値を求めましょう。

円の中心の座標が(50,0)、円の半径が150なので、三平方の定理より、

つまり、

同様に考えると、点Dの値は、

次に、点Cと点Dの角度を求めましょう。点Aから反時計回りに何度回転したかを考えます。

まずは点Dまでの角度を求めます。前準備として直角三角形の三角比の定義からを求めましょう。

したがって、

両辺2で割ると、

以上をまとめると、

今回はモールの応力円の例題を解説しました。

もう一度重要事項をまとめると、最低限以下の3つは理解しましょう。

◆横軸は(右向きを正)、縦軸は(下向きを正)

◆角度は軸を°として反時計回りに回転する

◆主応力はせん断応力がゼロのため軸上の位置する

そして、モールの応力円の描き方は以下の3ステップです。もう一度おさらいしましょう。

①横軸に(右向きを正)、縦軸に(下向きを正)をとる。

②問題文で与えられた２点A(,)とB(,)をとる。

③直線ABが軸と交わる点を中心とし、ABを直径とする円を描く。

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