ベクトルの定番問題を一瞬で解く公式
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ベクトルの定番問題を一瞬で解く公式
  • レベル: ★ 入試対策
  • 検算テクニック
  • 座標，ベクトル

更新 2023/08/01

三角形 ABCABCABC 内に点 XXX があり，pXAundefined+qXBundefined+rXCundefined=0undefinedp\overrightarrow{XA}+q\overrightarrow{XB}+r\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{0}pXA+qXB+rXC=0

が成立するとき，面積比は

△XAB:△XBC:△XCA＝r:p:q\triangle XAB : \triangle XBC : \triangle XCA＝r:p:q△XAB:△XBC:△XCA＝r:p:q

頻出なので，この結果をそのまま覚えておくとよいでしょう。

公式の導出

証明

pXAundefined+qXBundefined+rXCundefined=0undefinedp\overrightarrow{XA}+q\overrightarrow{XB}+r\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{0}pXA+qXB+rXC=0 より，始点を AAA に変換すると，

−pAXundefined+q(ABundefined−AXundefined)+r(ACundefined−AXundefined)=0undefined -p\overrightarrow{AX}+q(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AX})+r(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AX})=\overrightarrow{0} −pAX+q(AB−AX)+r(AC−AX)=0

変形すると AXundefined=qABundefined+rACundefinedp+q+r=q+rp+q+r⋅qABundefined+rACundefinedq+r\begin{aligned} \overrightarrow{AX} &= \dfrac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{p+q+r}\\ &= \dfrac{q+r}{p+q+r}\cdot\dfrac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{q+r} \end{aligned}AX​=p+q+rqAB+rAC​=p+q+rq+r​⋅q+rqAB+rAC​​ となる。

qABundefined+rACundefinedq+r\dfrac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{q+r}q+rqAB+rAC​ は線分 BCBCBC を r:qr:qr:q に内分する点なので，

△XAB:△XCA=r:q \triangle XAB : \triangle XCA=r:q △XAB:△XCA=r:q が分かる。対称性より残りも同様。

特に p=q=rp=q=rp=q=r のときは，点 XXX は三角形 ABCABCABC の重心と一致します。

確認の例題

公式の証明での式変形が身についているか，次の問題で確認しましょう。

例題

三角形 ABCABCABC の内部に点 PPP があり， APundefined+2BPundefined+3CPundefined=0undefined \overrightarrow{AP} + 2 \overrightarrow{BP} + 3 \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0} AP+2BP+3CP=0 が成立するとき，次の問いに答えよ。

  1. APundefined\overrightarrow{AP}AP を ABundefined\overrightarrow{AB}AB と ACundefined\overrightarrow{AC}AC で表せ。

  2. 2直線 APAPAP と BCBCBC の交点を QQQ とする。BQ:QCBQ : QCBQ:QC および AP:PQAP : PQAP:PQ を求めよ。

面積比は自分で確認してください！

解答

  1. 与式より APundefined−2(ABundefined−APundefined)−3(ACundefined−APundefined)=0undefined \overrightarrow{AP}-2(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP})-3(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP})=\overrightarrow{0} AP−2(AB−AP)−3(AC−AP)=0 であるため，変形すると APundefined=2ABundefined+3ACundefined6 \overrightarrow{AP} = \dfrac{2 \overrightarrow{AB} + 3 \overrightarrow{AC}}{6} AP=62AB+3AC​ となる。

  2. 1番より APundefined=56×2ABundefined+3ACundefined5 \overrightarrow{AP} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{2 \overrightarrow{AB} + 3 \overrightarrow{AC}}{5} AP=65​×52AB+3AC​ となる。QQQ は BCBCBC 上にあるため AQundefined=2ABundefined+3ACundefined5APundefined=56AQundefined \overrightarrow{AQ} = \dfrac{2 \overrightarrow{AB} + 3 \overrightarrow{AC}}{5}\\ \overrightarrow{AP} = \dfrac{5}{6} \overrightarrow{AQ} AQ​=52AB+3AC​AP=65​AQ​ となる。よって BQ:QC=3:2AP:PQ=5:1 BQ : QC = 3 : 2\\ AP : PQ = 5 : 1 BQ:QC=3:2AP:PQ=5:1 となる。

最短で得点力を上げる！高校数学の問題集〈典型250問〉の問題105では，類題と，この問題で計算ミスをしないためのコツを紹介しています。

3次元への拡張

同様の議論を四面体に適用すると，以下の公式を得ます：

四面体 ABCDABCDABCD 内に点 XXX があり，pXAundefined+qXBundefined+rXCundefined+sXDundefined=0undefinedp\overrightarrow{XA}+q\overrightarrow{XB}+r\overrightarrow{XC}+s\overrightarrow{XD}=\overrightarrow{0}pXA+qXB+rXC+sXD=0

が成立するとき，四面体の体積比は

XABC：XBCD：XCDA：XDAB＝s:p:q:rXABC：XBCD：XCDA：XDAB＝s:p:q:rXABC：XBCD：XCDA：XDAB＝s:p:q:r

内分の公式は比率を反対にしてしまいがちなので注意しましょう。

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Tag:三角形の面積を求める公式まとめ

この記事の監修者

マスオ

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る

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