ことがらの逆と反例
ことがらの逆と反例

ことがらの逆と反例

目次
  1. 問題：ことがらの逆と反例
  2. 解法のPoint
  3. 問題解説：ことがらの逆と反例
    1. 問題解説(1)
    2. 問題解説(2)
    3. 問題解説(3)
    4. 問題解説(4)
    5. 問題解説(5)
    6. 問題解説(6)
    7. 問題解説(7)
    8. 問題解説(8)

問題：ことがらの逆と反例

問題

次のことがらの逆を答えよ。また、それが正しいかどうかを調べて正しくない場合は反例も答えよ。

\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) で、 　\({\rm AB=AC}\) ならば \(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\) \({\small (2)}~\)整数 \(a~,~b\) で、\(a\) も \(b\) も奇数 ならば \(a+b\) は偶数。 \({\small (3)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) で、 　\(\angle{\rm A}\) が直角 ならば \(\angle{\rm B}+\angle{\rm C}=90^\circ\) \({\small (4)}~\)２直線が平行 ならば 錯角が等しい。 \({\small (5)}~\)２つの三角形が合同 ならば その２つの三角形の面積が等しい。 \({\small (6)}~\)\(x\) が \(6\) の倍数 ならば \(x\) は \(2\) の倍数。 \({\small (7)}~\)整数 \(a~,~b\) で、\(a\) が奇数で \(b\) が偶数 ならば \(ab\) は偶数。 \({\small (8)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}\) において、 　\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}\) ならば \({\rm AB=A^{\prime}B^{\prime}}\)

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解法のPoint

Point：ことがらの逆と反例

ことがら「◯◯ならば、◇◇である」の逆は、

仮定と結論を入れかえて、 　「◇◇ならば、◯◯である」となる。 ■ ことがらの反例 あることがらの仮定が成り立つが、結論が成り立たない例を「反例」という。 ※ あることがらが正しい場合でも、そのことがらの逆が正しいとは限らない。 ことがら「 \(x>7\) ならば \(x{\small ~≧~}2\) 」の逆は、 　「 \(x{\small ~≧~}2\) ならば \(x>7\) 」 これは反例の \(x=3\) などがあり、正しくない。

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問題解説：ことがらの逆と反例

問題解説(1) 問題

次のことがらの逆を答えよ。また、それが正しいかどうかを調べて正しくない場合は反例も答えよ。

\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) で、 　\({\rm AB=AC}\) ならば \(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\)

このことがらの逆は、 \(\triangle {\rm ABC}\) で、 　\(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\) ならば \({\rm AB=AC}\)

二等辺三角形の定理より、底角が等しいならばその三角形は二等辺三角形となる したがって、正しい

 

問題解説(2) 問題

次のことがらの逆を答えよ。また、それが正しいかどうかを調べて正しくない場合は反例も答えよ。

\({\small (2)}~\)整数 \(a~,~b\) で、\(a\) も \(b\) も奇数 ならば \(a+b\) は偶数。

このことがらの逆は、 　\(a+b\) が偶数 ならば \(a\) も \(b\) も奇数

\(a=2~,~b=4\) のとき、\(a+b=6\) となり偶数だが \(a\) も \(b\) も偶数となる よって、正しくない また、反例は \(a=2~,~b=4\) (※ 他に \(a=8~,~b=6\) など)

 

問題解説(3) 問題

次のことがらの逆を答えよ。また、それが正しいかどうかを調べて正しくない場合は反例も答えよ。

\({\small (3)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) で、 　\(\angle{\rm A}\) が直角 ならば \(\angle{\rm B}+\angle{\rm C}=90^\circ\)

このことがらの逆は、 \(\triangle {\rm ABC}\) で、 　\(\angle{\rm B}+\angle{\rm C}=90^\circ\) ならば \(\angle{\rm A}\) が直角

三角形の内角の和が \(180^\circ\) より、 \(~~~\angle {\rm A}=180^\circ-(\angle {\rm B}+\angle {\rm C})=90^\circ\) よって、正しい

 

問題解説(4) 問題

次のことがらの逆を答えよ。また、それが正しいかどうかを調べて正しくない場合は反例も答えよ。

\({\small (4)}~\)２直線が平行 ならば 錯角が等しい。

このことがらの逆は、 　錯角が等しい ならば ２直線が平行

平行線と錯角の定理の逆より、錯角が等しいならば２直線が平行となる したがって、正しい

 

問題解説(5) 問題

次のことがらの逆を答えよ。また、それが正しいかどうかを調べて正しくない場合は反例も答えよ。

\({\small (5)}~\)２つの三角形が合同 ならば その２つの三角形の面積が等しい。

このことがらの逆は、 　２つの三角形の面積が等しい ならば ２つの三角形が合同

面積が等しい三角形でも合同にならない場合でもある よって、正しくない 反例は、次の図のようになる

 

問題解説(6) 問題

次のことがらの逆を答えよ。また、それが正しいかどうかを調べて正しくない場合は反例も答えよ。

\({\small (6)}~\)\(x\) が \(6\) の倍数 ならば \(x\) は \(2\) の倍数。

このことがらの逆は、 　\(x\) が \(2\) の倍数 ならば \(x\) は \(6\) の倍数

\(x=4\) のとき、\(2\) の倍数であるが \(6\) の倍数でない よって、正しくない 反例は、\(x=4\) (※ \(x=2~,~8~,~10~,~\cdots\) など)

 

問題解説(7) 問題

次のことがらの逆を答えよ。また、それが正しいかどうかを調べて正しくない場合は反例も答えよ。

\({\small (7)}~\)整数 \(a~,~b\) で、\(a\) が奇数で \(b\) が偶数 ならば \(ab\) は偶数。

このことがらの逆は、 　\(ab\) が偶数 ならば \(a\) が奇数で \(b\) が偶数

\(a=2~,~b=3\) のとき、\(ab=6\) となり偶数で \(a\) が偶数で \(b\) が奇数となる よって、正しくない 反例は、\(a=2~,~b=3\) (※ \(a=2~,~b=4\) なども)

 

問題解説(8) 問題

次のことがらの逆を答えよ。また、それが正しいかどうかを調べて正しくない場合は反例も答えよ。

\({\small (8)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}\) において、 　\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}\) ならば \({\rm AB=A^{\prime}B^{\prime}}\)

このことがらの逆は、 \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}\) において、 　\({\rm AB=A^{\prime}B^{\prime}}\) ならば \(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}\)

三角形の合同条件より、１組の辺が等しい場合は合同とはいえない よって、正しくない 反例は、次の図のようになる

 

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