スカラー行列とは～定義と大事な性質～
スカラー行列とは，単位行列を用いて A=aI_n のように書ける行列のことで，まるでスカラーのように扱える行列を指します。これについて，定義と大事な性質を1つ紹介しましょう。
目次- スカラー行列の定義
- スカラー行列の大事な性質
- その他の行列
スカラー行列の定義
定義（スカラー行列）
\large \color{red} A=\begin{pmatrix} a \\ & a&& \huge{0} \\ & & \ddots \\ &\huge{0}&& \ddots \\ &&&& a \end{pmatrix}のように，対角成分以外は全て 0 で，対角成分は全て等しい行列をスカラー行列 (scalar matrix) という。
特に，n 次正方行列がスカラー行列のとき，n 次スカラー行列といいます。
スカラー行列とは要するに単位行列の定数倍の行列，すなわち \color{red} A = aI_n のような行列を指します。「スカラー行列」という名前は，ほぼスカラー（定数）のように扱える行列だということです。
単位行列や零行列もスカラー行列の一種です。
スカラー行列の大事な性質
定理（スカラー行列の性質）
A を n 次スカラー行列とする。このとき，任意の n 次正方行列 B に対して，
\large \color{red}AB=BAが成り立つ。逆に，これが任意の n 次正方行列 B について成り立つならば， A はスカラー行列である。
前半はほぼ自明でしょう。「逆に，」以降の方が大事です。よって後半を証明していきましょう。
後半の証明
A=(a_{ij}) とする。
B を (j,i) 成分のみ 1 でそれ以外が 0 の行列とする ( B=E_{ji} 行列単位)。このとき，
であり， AB = BA なので，
\begin{gathered} a_{i1} =\dots = a_{i\, i-1} = a_{i\, i+1} =\dots = a_{in}= 0 ,\\ a_{1j}=\dots =a_{j-1\, j} = a_{j+1\, j} =\dots = a_{nj}=0 \end{gathered}かつ a_{ii} =a_{jj} である。i,j を任意に動かすことで， k\ne l のとき， a_{kl}=0 であり，また
a_{11}=a_{22}=\dots =a_{nn}なので， A はスカラー行列である。
証明終
なお，スカラー行列は対角行列の1つですから，対角行列の性質がすべて成立します。対角行列の性質は以下で解説しています。
対角行列の定義と基本的な性質6つ正方行列において，(左上から右下への)対角成分以外が0となる行列を対角行列 (diagonal matrix) といいます。これについてのちゃんとした定義と，性質6つを述べましょう。対角成分の定義も述べます。mathlandscape.com