★★☆☆☆初級コース 正12面体の展開図

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【問題】正12面体は何本の辺をきると展開図を書くことができますか。　　また具体的な展開図を一つ書いてください。　2019　年栄光学園中入試問題改題

【ヒント】正12面体は正五角形が12枚でできています。　面の数は　12枚ですね。　それでは、辺の数は？　正五角形1つあたり5本の辺があります。　それが12枚あるので　5×12=60本の辺があります。　しかし、下の図のように、1つの辺を2面で共有してますので、　60÷２＝30本となります。　　正多面体の辺の数は　面の辺の数　×　面の数　÷２となります。　２は1辺が共有する面の数は常に２面なためです。　　それでは頂点の数はどうでしょうか。　公式を覚えるのではなく、上の「考え方」が頭に入っていればわかります。　１つの面の頂点の数は、5個です。　これが12面ありますので、12×５＝60個となります。　1つの頂点を3面で共有してますので、60÷３＝20個ですね。　頂点の数は　面の頂点の数　×　面の数÷（1点が共有する面の数）　となります。

【解答】　正12面体の辺の数は　　5（正五角形の辺の数）×12（正五角形の枚数）÷２（共有部分）＝30本　となります。　また、12枚の面が辺どうしでつながっている必要がありますので、　11本の共有の辺でつながっている必要があります。　よって切る必要のある辺は、全体30－11＝19本・・・（答え）

　これを参考に具体的な展開図を4つほどご紹介します。（ほかにもあります）　代表的なものは、上の２つです。とくに1つ目はフォルム（形）がきれいですね。　　　正12面体の展開図の数は　43380種類あるそうです。　どうやって計算するかわかりません（笑）が、今回の問題はそれを考える　入り口となる問題です。　これだけの種類あれば正5角形を12個　つなげると、ほぼ正12面体になりそうですね（笑）