「多面体・正多面体」とは？種類と特徴一覧表（展開図つき）まとめ

「多面体・正多面体」とは？ 種類と特徴一覧表（展開図つき）まとめのPDF （20枚） がダウンロードできます。

PDFを印刷して手書きで勉強したい方は以下のボタンからお進み下さい。

無料ダウンロードページへ

中学１年生の数学で学習する「多面体・正多面体」について、どんな種類があるのかの一覧表、正多面体の定義と性質とは？正多面体の覚え方と、なぜ正多面体は５種類なのかなど、わかりやすく紹介しています。

正多面体の展開図をダウンロードすることもできます。

目次

• 多面体とは
• 正多面体の種類
• 正多面体の図
• 正多面体の一覧表
• 正多面体の定義（特徴）
• オイラーの多面体定理
• 正多面体の覚え方（語呂合わせ）
• 正多面体はなぜ５種類なのか
• 正多面体展開図一覧
• 正多面体展開図ダウンロード

多面体とは

多面体とは、「平面だけで囲まれた立体」のことだよ。

例えば、サイコロなんかを想像したらわかりやすいと思うよ。サイコロって６つの面が平らな面（平面）でできているよね。

逆に平面じゃないのは、缶ジュースやペットボトルなんかだね。どちらとも周りは「曲がった面（曲面）」でできているよね。

多面体とは

平面で囲まれた立体のこと（例：サイコロ）

その多面体を作っている「面の数」によって名前が変わるよ。

四面体　　　五面体　　　六面体

多面体ではないものの例は下図のようなものだよ。両方とも曲がった面（曲面）で囲まれているよね。

正多面体の種類

多面体とはどういうものかわかったかな？

多面体には、実はさらに「正多面体」というものがあるんだ。

小学校でも「正三角形」「正方形」「正五角形」「正○○○」なんかを学習したよね。

「三角形」の仲間の中に、さらに「正三角形」があったり、「四角形」の仲間の中に、さらに「正方形」があったりしたのと同じ。

「正三角形」「正方形」「正五角形」「正○○○」というのは、すべての辺が同じ長さだとそう呼ばれるんだったよね。

中１で学習する「正多面体」は、「すべての面が同じになる立体」のことなんだ。

それでは実際に正多面体の図を見てみよう。

正多面体を紹介するね。すべての面が同じになっていることがわかるかな？

正四面体は、「同じ形の正三角形」の、「四つの面」でできている立体だよ。

正六面体は、「同じ形の正方形」の、「六つの面」でできている立体だよ。

正八面体は、「同じ形の正三角形」の、「八つの面」でできている立体だよ。

正十二面体は、「同じ形の正五角形」の、「十二の面」でできている立体だよ。

正二十面体は、「同じ形の三角形」の、「二十の面」でできている立体だよ。

正多面体は５種類しか存在しないんだ。正多面体の面の形や面の数などを下の表にまとめたよ。なぜ「５種類しか存在しないのか」は、あとで詳しく説明するので安心してね。

５種類とも、面の形が「正○○形」になっているね。

正多面体の定義（特徴）

正多面体とは、「すべての面が同じ」と説明したけれど、実はこの表現では少し”あいまい”なんだ。

正多面体にはきちんとした定義と呼ばれる特徴が２つあるんだよ。この２つの特徴を満たしてこそ正多面体ということになるんだ。

正多面体の定義

• ①どの面もすべて合同な正多角形である。
• ②どの頂点にも面が同じ数だけ集まっている。

正直、これを聞いただけではピンとこないよね。だけれど、①はなんとなく理解できるんじゃないかな？

「①どの面もすべて合同な正多角形である」

というのは、すべての面が合同な正多角形ということだよね。一覧表にもあったけれど、すべての正多面体は「正三角形」・「正方形」・「正五角形」のどれかで囲まれていたよね。

「②どの頂点にも面が同じ数だけ集まっている」については立方体を例に考えてみよう。

実際に立方体が正多面体かどうかを調べてみよう。

正多面体の定義に合っているかチェック！

☑どの面もすべて合同な正多角形である。

→すべての面が「正方形」になっている。（OK！）

☑どの頂点にも面が同じ数だけ集まっている。

→どの頂点にも３つの面が集まっている。（OK！）

２つの条件をクリアしているから、立方体は「正多面体」だよ。

たとえば、下の赤い点に注目してみよう。ここが「頂点」だよ。（頂点はたくさんあるんだけれど、例として一つだけを赤い点にしているよ）

この頂点を含んでいる平面は色の付けたところ３つになるよね。「頂点を含んでいる面」や「頂点に接している面」を「頂点に面が集まっている」と表現しているんだね。図で確認するとわかりやすいね。

この「頂点に３つの面が集まっている」かどうかは、他の頂点で試してもやっぱり同じ状態になっているよ。だから、「どの頂点にも３つの面が集まっている」と言えるんだね。

このように、正多面体の２つの条件を満たしているから、立方体は正多面体といえるんだね。

下図のような「六面体」という立体は、すべて合同な正三角形で囲われているよ。そうすると、ぱっと見た感じでは「正多面体なのかな」と思ってしまうね。

でも、１つの頂点に集まっている面の数を確認してみよう。

頂点によって、集まっている面の数は「３つ」とか「４つ」になってしまって、バラバラなんだ。

だから、正多面体の定義の①はクリアしているんだけれど、②がクリアできていないから、「六面体」は正多面体ではないんだよ。

正多面体かどうかを判断する時は、正多面体の定義２つともをクリアしているかをちゃんと確認しよう。

正多面体の定義（おさらい）

• ①どの面もすべて合同な正多角形である。
• ②どの頂点にも面が同じ数だけ集まっている。

多面体には実はすごい性質があるんだ。

１８世紀の数学者オイラーが発見した性質で、それを「オイラーの多面体定理」というよ。さっきの表を見てみよう。

オイラーが発見したのは、多面体において、以下の計算式が成り立つということ。

オイラーの多面体定理

（頂点の数）−（辺の数）＋（面の数）＝２

本当にこんな計算式が成り立っているのかな？例えば、正四面体で計算して確かめてみよう。

（頂点の数）−（辺の数）＋（面の数）

＝４−６＋４＝２

確かに「２」になっているね。

正六面体でも計算してみよう。

（頂点の数）−（辺の数）＋（面の数）

＝８−１２＋６＝２

これも「２」になっているね。

多面体ってふしぎな性質を持っているんだね。この「オイラーの多面体定理」を覚えておくと、「頂点の数」「辺の数」「面の数」のどれか２つが分かれば、残りの1つも計算すれば分かるということだね。

これを知らないと、問題に出てきたときに、実際に頭の中か紙にその多面体の立体図を描かないとわからない、なんてことになってしまうね。四面体くらいだったらなんとかなるかもしれないけれど、二十面体なんて言われてしまったら、大変だよね。

ぜひ覚えておこうね。

多面体はいっぱい種類があるけれど、「正」多面体となると５種類しか存在しないんだよ。

テストで「正多面体５種類答えなさい」という問題が出たときに、ぱっと答えられるように、語呂合わせを紹介するね。

正多面体の覚え方①

「よーろっぱじゅうに２０ある」

正四面体（よー）

正六面体（ろっ）

正八面体（ぱ）

正十二面体（じゅうに）

正二十面体（２０）

※最近だと、「２０」のところをアイドルグループの「NiziU」で覚えても面白いね。

正多面体の覚え方②

「二十歳になったらじゆう（じゅうに）にしろや」

正二十面体（二十）

正十二面体（じゅうに）

正四面体（し）

正六面体（ろ）

正八面体（や）

今まで多面体や正多面体を学習してきて、こんな疑問をもった人はいないかな？

「正多面体はなぜ５種類しかないのか？」

すごくいい疑問だと思うから説明していくね。

正多面体の定義は次の通りだったよね。

正多面体とは

①どの面もすべて合同な正多角形である。

②どの頂点にも面が同じ数だけ集まっている。

追加したいのは、

②どの頂点にも面が３つ以上の同じ数だけ集まっている。

ということ。

難しいことを言っているかもしれないけれど、当たり前のことなんだよ。

なぜなら、どんな立体でも１つの頂点に面が３つ以上でないと立体の角を作ることはできないよね。

自分で立体を描いてみたらわかると思うよ。１つの頂点に面が２枚の立体なんて描けない思うよ。

だから正多面体の定義は次のようになるよ。

正多面体とは

①どの面もすべて合同な正多角形である。

②どの頂点にも面が３つ以上の同じ数だけ集まっている。

ここまでは大丈夫かな？それでは、この正多面体の定義を使って、なぜ５種類しかないかを説明するね。

まず正四面体で考えよう。

上の頂点の周りの展開図は次の通りになるよね。

１つの頂点の周りに正三角形の面が３枚接していることがわかるね。

次に正八面体で考えよう。

１つの頂点の周りの展開図は次のようになるね。

１つの頂点の周りに正三角形が４枚あることがわかるね。

次に正二十面体を考えよう。

１つの頂点の周りの展開図は次のようになるね。

１つの頂点の周りに正三角形が５枚あることがわかるね。

正四面体・正八面体・正二十面体の展開図

１つの頂点の周りに３～５枚の正三角形があることがわかるね。

１つの頂点の周りに集まる正三角形の数が「３」枚、「４」枚、「５」枚とくれば、こんなふうに予想する人もいるんじゃないかな？

予想

次は１つの頂点の周りに６枚の正三角形ができる正多面体になるのかな？

回答

１つの頂点の周りに６枚の正三角形ができる立体は作れないよ。実際に１つの頂点の周りに６枚の正三角形があったとすると、次のようになるよ。

正三角形の１つの角度が６０°だから６枚あると、６０×６＝３６０°でぴったり１周分になるね。ただ、これでは「立体は作れない」よ。だって「すき間」がないと折れないから立体はできないんだ。

試しに、一枚の紙を折って、その部分を頂点にして立体を作ろうとしてみて。一部を重ねたり、切り取ったりして「すき間」を作らないと立体にはならないはずだよ。

だから、１つの頂点の周りに６枚の正三角形がある立体は作ることができないんだ。

ほかには、「３枚」「４枚」「５枚」があるなら、「２枚」もあるのでは？という疑問も出てくるかもしれないね。

疑問

１つの頂点の周りに２枚の正三角形ができる正多面体はないの？

回答

これはさっきも説明したね。２枚の面だけでは、そもそも「立体」はできないよね。

これらのことから、１つの頂点の周りに正三角形ができる正多面体は、１つの頂点に３つの正三角形が集まる「正四面体」・１つの頂点に４つの正三角形が集まる「正八面体」・１つの頂点に５つの正三角形が集まる「正二十面体」しか存在しないんだよ。

同じように他の正多面体も考えていくよ。

１つの頂点の周りの展開図は次のようになるね。

１つの頂点の周りに正方形が３枚あることがわかるね。正方形って１つの角度が９０°だから、３枚だったら９０×３＝２７０°になるね。

ただ、４枚になると９０×４＝３６０°で、ぴったり１周分になってしまうね。これでは、さっき説明したとおり立体は作れないよ。だってすき間がないと折れないから立体はできないからね。

つまり、１つの頂点の周りに４枚の正方形ができるなんてことはありえない。もちろん、２枚の正方形でも立体にはならない。つまり、「３枚の正方形が集まった」立体しか存在しないんだ。

これらのことから、１つの頂点の周りに正方形ができる正多面体は、１つの頂点に３つの正方形が集まる「正六面体」しか存在しないんだよ。

１つの頂点の周りの展開図は次のようになるね。

１つの頂点の周りに正五角形が３枚あることがわかるね。正五角形は１つの内角の角度が１０８°だから、３枚だったら１０８×３＝３２４°。３６０°よりも小さいから、すき間がちゃんとできるね。

ただ、４枚になってしまうと１０８×４＝４３２°になっちゃうよね。３６０°を超えるから、立体にはならなくなってしまうね。それどころか、描ききることさえできないね。

つまり、１つの頂点の周りに４枚の正五角形ができるなんてことはありえないよ。もちろん、２枚の正五角形でも立体にはならないね。

これらのことから、１つの頂点の周りに正五角形ができる正多面体は、１つの頂点に３つの正五角形が集まる「正十二面体」しか存在しないんだよ。

今までのことから次のことがわかったよ。

１つの頂点の周りに正三角形ができる正多面体は、正四面体・正八面体・正二十面体しか存在しない。

１つの頂点の周りに正方形ができる正多面体は、正六面体しか存在しない。

１つの頂点の周りに正五角形ができる正多面体は、正十二面体しか存在しない。

だから正多面体は５種類しか存在しなんだね。

実は正六角形で囲まれた正多角形は存在しなんだよ。なんでかというと、正六角形の１つの内角の角度は１２０°。

もし１つの頂点の周りに正六角形が３つあったら、それだけで１２０×３＝３６０°になってしまうんだ。３６０°は１周分だから、これでは、立体は作れないね。

同じように、正七角形・正八角形で囲まれた正多角形というのも存在しないんだよ。３つ以上集まった時点で３６０°を余裕で超してしまうからね。

つまり、１つの頂点に正多角形が集まった時、３６０°を超してしまうかどうかがカギということだね。

多面体・正多面体の世界って、なかなか奥が深くて面白いね。

正多面体展開図一覧

正多面体の展開図を用意したよ。ダウンロードもできるので、印刷して組み立ててみるのも面白いよ！立体として実際に観察することで、もっとよく多面体・正多面体のことが理解できるといいな。